Dm 1ère Es : Systèmes (Obligatoire)

Animatrix

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Salut à tous !

J'ai un Dm de Maths à rendre pour ce lundi (14/11), et j'aurais besoin d'aide. Voici mes deux exercices (en obligatoire) :

1er exercice :

On sait que la consommation d'essence d'une voiture dépend de sa vitesse. On se propose détudier un exemple d'une telle corrélation.

1] Résolution du système

La consommation moyenne d'essence d'une voiture en litres pour 100km parcourus dépend de la vitesse moyenne v (en km/h).
Cette consommation C (en litres) est de la forme
2.jpg
, où a, b et c sont trois constantes réelles.
On a effectué les mesures ci-dessous :

1.png


1.Expliquez pourquoi a, b et c satisfont au système :

3.jpg


2.Résolvez ce système.
3.Déduisez-en :

a) la consommation sur 100km, pour une vitesse moyenne de 80km/h
b) la consommation sur 100km, pour une vitesse moyenne de 60km/h

2] Une courbe à présent

Posons
4.jpg
, où a, b et c sont les réels calculés ci-dessus.

1.Programmez cette fonction f sur votre calculatrice pour v compris entre 20 et 100, puis vérifiez que la courbe représentative a l'allure ci-dessous.
2.a) Pour quelle valeur approximative de v la consommation est-elle minimale ?
b) Interprétez l'allure de cette courbe

5.jpg




2ème exercice : Fabrication artisanale

Un artisan fabrique des objets A et des objets B.
La réalisation d'un objet A demande 30¤ de matière première et 125¤ de main-d'oeuvre
La réalisation d'un objet B demande 70¤ de matière première et 75¤ de main-d'oeuvre
Les profits réalisés sont de 54¤ par objet A, et de 45¤ par objet B
On note x le nombre d'objets A fabriqués et y le nombre d'objets B fabriqués en une journée.
La dépense journalière en matière première ne doit pas dépasser 560¤.
La dépense journalière en main d'oeuvre ne doit pas dépasser 1250¤
1.Traduire ces deux hypothèses.

2.Le plan est rapporté à un repère orthonormal
6.png
(unité graphique : 1cm). Représenter graphiquement l'ensemble des points M (x;y) dont les coordonnées vérifient ces hypothèses.

3.Exprimer le bénéfice journalier b de l'entreprise en fonction de x et y, puis la production journalière d'objets A et B qui assurerait un bénéfice maxmimum.
On précisera, graphiquement et par le clacul, cette production journalière.
En déduire le montant de ce bénéfice



Merci à tous de pouvoir m'aider en me donnant quelques indices
 

patrice084

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Animatrix link=topic=7021.msg62961#msg62961 date=1131824641 a dit:
1.Expliquez pourquoi a, b et c satisfont au système :
2.Résolvez ce système.
3.Déduisez-en :

a) la consommation sur 100km, pour une vitesse moyenne de 80km/h
b) la consommation sur 100km, pour une vitesse moyenne de 60km/h

Pour le 1° je ne vois pas ce qu'il faut dire.
Pour le 2°, j'ai soustrait la première équation et la seconde équation puis j'ai exprimé b en fonction de C.
A partir de l'équation résulat de ma première opération, j'ai fait la soustraction avec la 3° équation et j'ai exprimé a en fonction de b.

Ensuite, j'ai remplacé a et b dans la première équation pour trouver la valeur de c puis en déduire b et a.

Pour le 3°, il suffit de résoudre a + 80 b + 0.0125 c =C. Il faut bien sûr remplacer abc par leur valeur trouver.
 

patrice084

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Animatrix link=topic=7021.msg62961#msg62961 date=1131824641 a dit:
2ème exercice : Fabrication artisanale
1.Traduire ces deux hypothèses.
2.Le plan est rapporté à un repère orthonormal
6.png
(unité graphique : 1cm). Représenter graphiquement l'ensemble des points M (x;y) dont les coordonnées vérifient ces hypothèses.
3.Exprimer le bénéfice journalier b de l'entreprise en fonction de x et y, puis la production journalière d'objets A et B qui assurerait un bénéfice maxmimum.
On précisera, graphiquement et par le clacul, cette production journalière.
En déduire le montant de ce bénéfice

1 - Il faut arriver à écrire le système. A partir des informations fournies, vous ne devriez pas avoir de difficultés à l'écrire. On ne vous demande pas de le résoudre.
2 - A partir de votre système vous allez traduire chaque équation en y = ax+b (a et b étant connu) et vous ferez vos deux droites avec ces deux équations. Le point d'intersection doit être x=7
3 - Là il s'agit d'écrire l'équation pour calculer le bénef journalier, rien de complexe. Pour la production journalière, il faut résoudre le système écrit en 1. Graphiquement vous devez trouver x=7 et y=5 et vous devez trouver naturellement le même résultat en résolvant l'inéquation du 1.
Enfin, il ne vous restera plus qu'à calculer.
 

Animatrix

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Alors, pour le premier exercice :

1]
1) Je n'arrive pas à trouver à quoi pourrais correspondre a, b et c

2) Par la méthode de Gauss, je trouve S = { -6,75 ; 0,125 ; 425 }

3) a)

C= -6,75 + 0,125(80) + 425/80 = 8,5625 l
Pour une vitesse moyenne de 80km/h, la consommation sur 100km est de 8,5625 litres.

b) C = -6,75 + 0,125(60) + 425/60 = ~ 7,8333 l
La consommation sur 100km, pour une vitesse moyenne de 60km/h, est d'environ 7,8333 litres.

2]
1) Dois-je écrire quelque chose ?

2.a) A partir, des valeurs précédemment calculées/données par l'énoncé, on peut déduire que la consommation est minimale à 60km/h.

En effet, pour 20km/h, la consommation moyenne est de 17L
Pour 50km/h, 8L
Pour 60km/h, 7,8333L
Pour 80km/h, 8,5625L
Pour 100km/h, 10L

La valeur minimale est donc celle de 60km/h.

2.b) Je comprend le graphique, mais je en sais pas comment justifier mes propos. Auriez-vous des idées ?
 

patrice084

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Animatrix link=topic=7021.msg63145#msg63145 date=1131876742 a dit:
1]
1) Je n'arrive pas à trouver à quoi pourrais correspondre a, b et c

2]
1) Dois-je écrire quelque chose ?
2.b) Je comprend le graphique, mais je en sais pas comment justifier mes propos. Auriez-vous des idées ?


1.1 On peut dire que a b c sont bien 3 constantes (c'est tout ce que j'ai d'original en magasin :chessy: )
2.1 Non, puisque le travail se fait sur votre calculatrice, ou alors écrire les touches utilisées pour entrer la formule.

pour 2.b, pas d'idées non plus , désolé !
 

Animatrix

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Merci pour ces réponses.

pour le 2] 1)

Est-ce que ce système peu aller :

x >=0
y >=0
30x+70y<=560
et 125x+75y<=1250

??
 

Animatrix

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Alors, pour 1)

Voila mon système :

{ x >= 0
{ y >= 0
{ 30x + 70y <=560 (1)
{ 125x + 75y <= 1250 (2)

2)

(1) : 30x+70y<=560
70y<=-30x+560
y<=-30/70x + 560/70
y<=-3/7x+8
Le demi-plan situé au-dessous de la droite d'équation y= -3/7x+8 est solution
d1: y=-3/7x + 8 (0;8) et (7;5)

(2) : 125x+75y<=1250
75y<=-125x+1250
y<=-125/75x+1250/75
y<=-5/3x+50/3
Le demi-plan situé au-dessous de la droite d'équation y= -5/3x+50/3 est solution
d2 : y=-5/3x+50/3 (1;15) et (4;10)

On hachure les demi-plans qui ne sont pas solution


Voila le graphique :




Jusque la est-ce juste ?, car en général c'est vers ici, que je me plante :(


3) Soit b, le bénéfice journalier de l'entreprise.
Le bénéfice s'exprime de la façon suivante : 54x+45y=b

Pour la production journalière, comment faire pour effectuer le calcul, je ne vois pas trop.

Merci à tous de pouvoir m'aider/me corriger
 

patrice084

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Animatrix link=topic=7021.msg63450#msg63450 date=1131903930 a dit:
Jusque la est-ce juste ?, car en général c'est vers ici, que je me plante :(

Cela me semble correct. Au premier abord, je trouve le même graphique.

On peut dire que le bénéfice maximum sera atteint lorsque l'on produira au maximum. Je pense qu'il faut résoudre le système pour trouver les valeurs X et Y à prendre en compte.

30x + 70y =560
125x + 75y= 1250

Perso, j'ai trouvé le couple (7 ;5 ).

Bon courage pour la suite et j'espère un bon résultat.
 

graziella

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Bonjour,
pour la question 1 Exercice 1, je dirai :
D'après l'énoncé nous avons C=a+bv+c/v

Or en remplaçant les données du tableau dans l'équation :(1ere ligne :v ;2eme ligne : C) on obtient les trois équtions voulues:
a+20b +c/20 = 17 <=> a+20b+0.05c = 17
idem pour les trois autres. c'est en tout cas ce que j'aurais fait...
 

Animatrix

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Dans le premier exercice, après avoir résoud l'équation.
J'ai écris : S = {....}
J'ai oublié les parenthèses, ca devait normalement ressembler à ca : {(...)}

Dans le premier exercice 2]

pour le 1) il fallait tracer la courbe.... et mettre un tableau de valeur
c'était pas très bien expliqué, il faut dire....


Pour le deuxième exercice,

J'aurais pas dus rajouter x >=0 et y>= 0. En effet, ils demandaient deux hypothèses, et non 4 !
Ensuite, j'ai oublié une phrase, pour dire que l'on allait résoudre graphiquement l'quation :(


Voila :) ce n'est que de betes erreurs, qui viennent principalement de moi :( . il va falloir que je fasse plus attention !



Sinon, encore merci patrice084
 

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