DM de Maths pour le 19/09 (1er exercice : Pourcentage)

[Animatrix]

Salut à tous !!

J'ai un (assez long) DM à rendre pour lundi 19.
Il se compose de 4 exercices, je vous donne le premier qui est le plus long des 4 :


Augmentations et baisses successives

1* Une illustration

De Janvier à Juin 2004, le prix d'un certain produit a augmenté de 2% ; de Juillet à Décembre 2004, il subit une nouvelle augmentation de 3%. Il ne faut pas en conclure que le prix a augmenté de 5% durant l'année 2004. Voici pourquoi.
Notons P le prix de ce produit au début 2004.

1] Expliquez pourquoi le prix de ce produit fin 2004 est 1,02 x 1,03 x P.
2] déduisez-en que le pourcentage d'augmentation de ce prix en 2004 est de 5,06%

2* La feuille d'impôts

Voici, très simplifié, le début du calcul du montant de l'impôt pour un contribuable.

1. Un exemple

a] Une personne a perçu un salaire net imposable de 30 000¤ en 2004.
Complétez les lignes, a,b, c, d et e précédentes
b] Que pensez-vous de l'affirmation "Deux déductions sucessives de 20% et de 10%, reviennent à une seule déduction de 30%"

2. Plus généralement

Notons S le salaire annuel net imposable (en euros) d'une personne en 2004.

a] Expliquez pourquoi le nombre ) faire figurer sur la ligne e est 0,9 x 0x8 x S
b] Quel pourcentage de baisse appliqué à S permet d'obtenir directement la ligne e ?


3* Aller et retour

1. Le prix d'un produit augmente t %, puis diminue de t%. Il passe ainsi, successivement, de la valeur P0 à la valeur P1, puis à la valeur P2.

a] Montrez que P2 = (1 - t/100)(1 + t/100)P0
b] Déduisez-en que P2 < P0.

2. Le prix d'un produit diminue de t %, puis augmente de t %. Il passe ainsi de la valeur P0 à la valeur P'1, puis à la valeur P'2.

a] Montrez que P'2 = (1 + t/100)(1 - t/100)P0.
b] Déduisez-en que P'2 < P0.

3. La société Fayenceries annonce qu'en 2004, le chiffre d'affaires de son département "vaisselle" a baissé de 15% par rapport à 2003. Le président de cette société souhaite savoir quel devrait être le pourcentage de hausse du chiffre d'affaires de 2005 pour retrouver en 2005, le chiffre d'affaires de 2003.
Notons P le chiffre d'affaires en 2003; le président souhaite donc connaître T tel que :

a] Vérifier qu'une hausse de 15 % (T =15) ne permet pas d'atteindre l'objectif.
b] Expliquer pourquoi l'on doit avoir 0,85 (1 + T/100)=1. Calculez T


Merci de pouvoir m'aider :mellow:

 

[patrice084]

1* Une illustration

De Janvier à Juin 2004, le prix d'un certain produit a augmenté de 2% ; de Juillet à Décembre 2004, il subit une nouvelle augmentation de 3%. Il ne faut pas en conclure que le prix a augmenté de 5% durant l'année 2004. Voici pourquoi.
Notons P le prix de ce produit au début 2004.

1] Expliquez pourquoi le prix de ce produit fin 2004 est 1,02 x 1,03 x P.
2] déduisez-en que le pourcentage d'augmentation de ce prix en 2004 est de 5,06%

Pour cet exercice, ce n'est qu'une résolution d'équation. En partant de l'équation :
P + P*2% = NP vous pourrez démontrer le 1°) (Mise en facteur)
Pour le 2 il suffit de multiplier les coefficients entre eux.

 

[Animatrix]

Voial ce que j'ai fait pour cet exercice :

1]1. P étant le prix du produit au début 2004 :

P + 2P/100 est le prix en juin 2004, puisqu'il y a eu une augmentation de 2%.
Le prix de juin 2004, a augmenté de 3% entre Juillet et décembre 2004.
Le prix fin 2004 est donc : (prix au mois de juin 2004) + (Prix au mois de Juin 2004 x 3/100) = 105,06P/100 = 1,05606P= 1,02 x 1,03 x P

Le prix du produit fin 2004 est 1,02 x 1,03 x P

2. Soit x, le pourcentage d'augmentation du prix en 2004

P + Px/100 = 1,02 x 1,03 x P
(100P+Px)/100 = 1,02 x 1,03 x P
100P + Px = 100 x 1,02 x 1,03 x P
100 + x = 105,6
x = 105,6 - 100 =5,06

Le pourcentage d'augmentation de ce prix en 2004 est de 5,06%


[2]1.
a) Salaires = 30 000¤
Déduction 10% = 3 000¤ (30 000 x 10/100)
Reste mognes a - b = 27 000¤ (30 000 - 3 000)
Abattement de 20% (lignes c x20%) = 5 400¤ (27 000 x 20/100)
reste lignes c - d = 21 600¤ (27 000 - 5 400)

b) L'affirmation "Deux déductions sucessives de 20% et de 10%, reviennent à une seule déduction de 30%" est fausse, puisqu'avec les pourcentages, les baisses successives ne s'ajoutent pas.
Pensez vous que je dois mettre un exemple ici ?

2. Plus généralement

a) Soit S, le salaire annuel net imposable (en ¤uros) d'une personne en 2004

a. S
b. 0.1S
c. S - 0.1S=0.9S
d. 0.9S*02S
e. 0.9S - 0.2*0.9S = 0.9S(1-0.2)=0.9S*0.8 = 0.9*0.8*S

Cela explique pourquoi le nombre à faire figurer sur la ligne E est 0,9 x 0,8 x S

b) S - Sx/100 = 0.9*0.8*S
100S - Sx = 0.9*0.8*100*S
100-x = 72
-x=-28
x=28

Le pourcentage de baisse appliquée à S permettant d'obtenir la ligne e est 28%.
Dois vérifier par rapport aux précédents résultats ?



Pour le [3], je n'y arrive pas du tout, pouvez vous m'aider s'il vous plait ?
Dans ce que j'ai fais, y a-t-il des fautes ?

 

[patrice084]

Pensez vous que je dois mettre un exemple ici ?

Vous pourriez vous contenter de mettre une phrase du style pour calculer une nouvelle valeur à partir d'un pourcentage, on applique un coefficient. Ce coefficient est 1+T lorsqu'il s'agit d'une augmentation et de 1-T pour une diminution. Ainsi, pour calculer deux diminutions successives, on multipliera les deux coefficients.

Pour le [3], je n'y arrive pas du tout, pouvez vous m'aider s'il vous plait ?
Dans ce que j'ai fais, y a-t-il des fautes ?

Ce qui a été fait semble bien fait (je n'ai pas vérifié les calculs).

Pour le 3 (aller/retour), c'est toujours dans la même veine. Pour le a) vous exprimez P1 en fonction de P0 puis
P2 en fonction de P1.
Pour le b) en développant l'identité remarquable vous expliqurez que 1-t² est inférieur à 1 donc que P2 sera inférieur à P0.

Même principe pour le 2)

Enfin, votre dernier exercice est toujours sur le même principe. Dans le a) il faut calculer (vérifier) donc simple à faire. Pour le b) vous expliquerez que le taux global doit être de 1 pour obtenir un CA identique. Ensuite, vous résolvez l'équation.

 

[Animatrix]

Bonjour,

Voila la 3ème partie du 1er exercice :

1. a] Augmentation = P1 = Po(1+t/100)
Diminution = P2 = P1 (1-t/100)

Ainsi, P2 = Po (1+t/100)(1-t/100) = (1-t/100)(1+t/100)Po

b] (1 - t/100)(1 + t/100) = (a-b) (a+b)
= a² - b² = 1 - t²/10 000

Quelle que soit la valeur de t, 1 - t²/10 000 sera toujours inférieur à 1.
Donc P2<Po

Est-ce bien cela que tu voulais me faire faire ?

2. a] P '1 = diminution = (1- t/100) Po
P'2 = augmentation = (1 + t/100) P'1 = (1+ t/100)(1 - t/100) Po

P2 est donc bien égal à (1+ t/100)(1 - t/100) Po

b] (1 + t/100)(1 - t/100) = (a+b) (a-b) = a² - b² = 1- t²/10 000

P'2 est inférieur à 1, donc P'2 sera obligatoirement inférieur à P0.

3. a] Si t = 15,

P deviendra P (1 - 15/100) = P 0,85
Si une hausse de 15% intervient, P 0,85 (1 + 15/100)=0,9775

b] Le taux global doit être de 1 pour obtenir un chiffre d'affaires identique.
Dois-je rajouter quelque chose pour l'explication avec le 0,85 ?

P 0,85 (1 + t/100) = 1
0,85(1 + t/100) = 1
0,85 + 0,85t/100 = 1
85 + 0,85t = 100
0,85t = 100- 85
0,85t = 15
t = 15/0,85 = 17,6470 = ~ 17,65
Il faut une hausse d'environ 17,65% pour rattraper la baisse 15%.

Est-ce bien ca ?



Voila le deuxième exercice, pourrais-tu me donner comme sur le précédent exercice, quelques clés pour m'aider, car j'ai quelques difficultés avec !

Voici le deuxième exercice :

Addition de deux pourcentages

Imaginons la situation suivante. Dans un certain pays, toute personne qui veut devenir interprète doit réussir un examen qui compte deux épreuves, l'une en français, l'autre en espagnol. L'examen est réussi lorsque le candidat obtient une note supérieure ou égale à 10, à l'une des épreuves au moins.
Supposons que, parmi les candidats, 50% aient obtenu une note supérieure ou égale à10 à l'épreuve de français, et 35% une note supérieure ou égale à 10 à l'épreuve d'espagnol.

1] Pouvez-vous affirmer que 85% des candidats ont réussi l'examen ?
2] Pour vous persuader, si nécessaire, que les apparences sont trompeuses, examinez les trois cas suivants :

1er cas : 20% des candidats ont obtenu une note supérieure ou égale à 10 à chacune des deux épreuves. Le schéma ci-dessus, illustre cette situation.
On dit que les ensembles E et F ne sont pas disjoints.
Quel est, dans ce cas, le pourcentage de candidats reçus ?

2ème cas : Tous ceux qui ont obtenu 10 ou plus à l'épreuve d'espagnol, ont aussi obtenu 10 ou plus à l'épreuve de français.
Quel est alors le pourcentage de candidats reçus ?

3ème cas : On suppose maintenant que les ensembles E et F sont disjoints.
Quel est alors le pourcentage de candidats reçus ?



Aide :
E et F sont deux parties d'un même ensemble de référence G.
Lorsque E et F sont disjointes, le pourcentage de la réunion de E et F, relatif à G, est la somme des pourcentages de E et F relatifs à G.
ce résultat est faux lorsque E et F ne sont pas disjointes


Merci de pouvoir m'aider :happy:

 

[Animatrix]

Voila ce que j'ai fais pour le deuxième exercice, mais je dois dire que je ne suis absolument pas sûr :embarassed:

1] Non, on ne peut pas dire qu'il y a 85% de réussite, puisque :
- Les 50% ou une partie, qui ont réussi l'épreuve de français, peuvent ausi avoir eu une note supérieure ou égale à 10 en Espagnol.
- De même pour les 35% qui ont réussi l'épreuve d'Espagnol, peuvent faire partie de ceux qui ont réussi l'épreuve de Français.
- On ne pouvait affirmer qu'il y ait eu 85% de réussite si et seulement si, les 50% n'avaient réussi que l'épreuve de français et les 35% uniquement l'épreuve d'Espagnol

2] 1er cas :

Soit G, l'ensemble des candidats
Soit F, l'ensemble des candidats ayant obtenu une note supérieure ou égale en Français
Soit E, l'ensemble des candidats ayant obtenu une note supérieure ou égale en Espagnol

20% + (F - 20%) + (E - 20%)
= (F + E) -20%
Dois -je rajouter cela :

(50% + 35%) - 20% = 65%
Le pourcentage de candidats reçus est de 65%


2ème cas :

Tous ceux qui ont obtenu la moyenne en Espagnol, l'ont aussi en Français, c'est-à-dire 50%

3ème cas :

Les ensembles E et F sont disjoints, donc le pourcentage de candidats reçus est égal à E + F, soit 85%

 

[patrice084]

Merci de pouvoir m'aider :happy:

Je vois que ce n'est pas la peine. Tout cela me semble correct. :biggrin:

 

[Animatrix]

Je vois que ce n'est pas la peine. Tout cela me semble correct. :biggrin:

Et ben c'est génial alors :biggrin:, il me reste plus qu'à tout recopier maintenant :embarassed:

 

[Animatrix]

Tout cela me semble correct. :biggrin:

...... tellement que j'ai eu une 20 !!!!
J'ai jamais eu cette note en Maths, merci beaucoup de m'avoir m'aider

 

[patrice084]

...... tellement que j'ai eu une 20 !!!!

Félicitations :biggrin: