fonction polynome du second degré

[fitnessman]

salut à tous le monde j'ai eu un controle et j'ai pas su faire et la prof n'a pas fait la correction et je pars en stage la + les vacances pourriez vous m'énoncer un corrigé clair que je puisse comprendre s'il vous plait car j'ai un contrôle à la rentrée??

I Première partie :

On considère l'expression A(x)= x^3 + 2x^2 - 13x + 10 (x réel)

1a) Montrer que x= est solution de l'équation A(x)=0


1b) Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x réel, on a A(x)= (x-1) (ax^2 +bx + c)


1c) Résoudre dans R l'équation A(x)=0


1d) Etudier, en fonction de x, le signe de A(x)


1e) Factoriser A(x)

II 2ème partie:

On considère les fonctions :
. f(x)=(5/6)x^2 - (1/6)x - 2

. g(x)=(2/3)x - 1/3

a) Compléter le tableau des x et f(x)

x = -2.5 / -2 / -1.5 /-1 /

à la calculatrice j'ai trouvé ces valeurs pour f(x) cé juste?


f(x)= 3.6 /1.7 / 0.1 / -1


b) Représenter les 2 courbes graphiquement (Cf et Cg)

je l'ai fait ça

c ) Etudier, en fonction de x, le signe de f(x)-g(x)

d) En déduire la position de Cf par rapport à Cg


merci d'avance pour vos réponses j'en ai besoin pour réviser et bien comprendre

 

[patrice084]

1a) Montrer que x= est solution de l'équation A(x)=0

x = quoi ?

 

[fitnessman]

x=1 pardon c'est mon ordinateur ki beugue

 

[patrice084]

x=1 pardon c'est mon ordinateur ki beugue

Je m'en doutais un peu :smile: x=1 est ce que l'on appelle une racine évidente de l'équation. Cela veut dire que sans faire de calcul complexe, en remplaçant x par 1 on voit que l'équation se résoud.

1a) Montrer que x=1 est solution de l'équation A(x)=0

Il suffit de remplacer dans votre équation x par 1 et vous trouvez que cela fait effectivement 0.

1b) Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x réel, on a A(x)= (x-1) (ax^2 +bx + c)

Il faut que vous développiez l'expression ce qui donne
ax[sup]3[/sup] + bx² + cx –ax²-bx-c=0
vous faites le regroupement et vous obtenez
ax[sup]3[/sup] +x²(b-a) +x(c-b)-c=0

Grâce à cela, et en comparant à x[sup]3[/sup] + 2² - 13x + 10, on peut en déduire les valeurs de a, b et c
c=-10
b=3
a=1

1c) Résoudre dans R l'équation A(x)=0

On a donc maintenant l'expression suivante :
(x-1)(x²+3x-10)=0
qui se résoud facilement en utilisant le calcul du Delta=b²-4ac
et vous devez trouver x[sub]1[/sub]=-5 et x[sub]2[/sub]=2

1d) Etudier, en fonction de x, le signe de A(x)
Un tableau des signes à réaliser, je suppose que vous savez faire.

1e) Factoriser A(x)

Puisque vous avez trouver les solutions dans le c) vous pouvez alors factoriser votre expression, vous devez savoir faire cela aussi.

 

[patrice084]

II 2ème partie:

On considère les fonctions :
. f(x)=(5/6)x^2 - (1/6)x - 2
. g(x)=(2/3)x - 1/3

à la calculatrice j'ai trouvé ces valeurs pour f(x) cé juste?

Oui, les résultats sont corrects

b) Représenter les 2 courbes graphiquement (Cf et Cg)
je l'ai fait ça

Vous pouvez donc voir sur votre graphique les points d'intersection qui sont (-1;-1) et (2 ;1 ) qui permettrons de vérifier les questions suivantes.

c ) Etudier, en fonction de x, le signe de f(x)-g(x)

Il suffit de faire la soustraction (5/6)x^2 - (1/6)x - 2 - ((2/3)x - 1/3) de développer et de réduire pour arriver au résultat (5/6) (x^2 - x - 2)

Pour étudier le signe on pose (5/6) (x^2 - x - 2) > 0 soit (5/6) (x^2 - x - 2)>0
Sans faire le calcul du détermiant, on voit deux racines évidentes qui sont -1 et 2. On peut alors écrire
(x+1)(x-2)>0 ==> x > -1 et x > 2

Ensuite, on peut faire le tableau des signes :
x - inf -1 2 + inf
(x-1) - 0 + +
(x+2) - - 0 +
E(x) + 0 - 0 +

Ce qui permet alors de répondre à la question.
f(x)-g(x) est > lorsque x appartient à ]-inf ; - 1[ et ]2 ; + inf [
f(x)-g(x) est < lorsque x appartient ] -1 ; 2 [
f(x)-g(x) est nul pour x=-1 et x = 2

d) En déduire la position de Cf par rapport à Cg
Cela vous pouvez aussi le lire sur votre graphique. La courbe f est au-dessus de la courbe g lorsque f(x)-g(x) est > 0, et en dessous pour f(x)-g(x) < 0. Les deux courbes se croisent pour les x annulant l'expression