Etude d'une fonction

[fitnessman]

Salut à tout le monde j'ai été absent les 2 derniers cours de math donc je n'ai pas eu la correction de cet exercice pouvez vous m'aidez pour les réponses s'il vous plait? j'ai un contrôle sur ce type d'exercice mercredi sa serait sympa que l'on m'explique. j'ai besoin de vous...

Partie A : ( les grand X veulent dire la lettre de l'alphabet et pas le signe multiplié)

En vue d'une interprétation économique qui sera effectuée dans la partie B, on considère la fonction définie sur l'intervalle I=[200;500]
par f(x)= 950X e^-0.003X

1/ On note f' la fonction dérivée de f. Montrer que, pour tout x élément de I, f'(x)=950(1-0.003X)e^-0.003X

2/ déterminer le sens de variation de la fonction f

3/ Compléter le tableau suivant
pour les X : 200 250 300 350 400 450 500
pr les f(x) :104000
(ici pr X=200 f(x)=104000 c combien pour les otres X?)

partie B:

On supose, dans cette question, qu'une estimation du nombre d'acheteurs potentiels est y=950 e^-0.003X

1/ Montrer qu'une estimation de la recette en francs, en fonction du prix de vente X, est
f(x)=950X e^-0.003X

2/ En déduire une valeur approchée, arrondie au franc près, du prix de vente pour lequel la recette est maximale.
Quel est, arrondi au millier de franc près, le montant de la recette?

Voila merci d'avance

 

[Lhana]

Salut :smile:


:excl: Alors tout d'abord, je te conseille de faire l'exercice seul et ensuite le faire avec la correction, c'est que comme ça que tu peux comprendre et progrésser.

:excl: Aussi il y a des notions de cours a connaitre et des formules à utiliser, personnellement je rentre les formules dans ma calculatrice, à force de m'entrainer et de faire des exercices (le secret pour réussir en math) je les connais pas coeur, sinon pour les règles de base, lis ton cours régulièrement particulièrement le soir et petit à petit ça va rentrer.

Partie A:

f(X)=950X e^-0.003X I=[200;500]

1°)Quand on a cette question il faut toujours écrire cette phrase:

:fleche: f est définie et dérivable sur [200;500], pour tout X appartenant à [200;500] f'(X)=(...)

Passons maintenant au calcul de f'(X):
Tu va remarquer que f(X) est de la forme uv,Formule: (uv)'=u'v+v'u
avec u= 950X et v=e^-0.003X, Formule: (ku)'=ku' (k étant un réel ) et (e^u)'=u'e^u.

Voila, nous avons tous pour trouver f'(X):
:fleche: u=950X; u'=950( car dérivé de X est égale à 1, donc 950*1=950)
:fleche: v=e^-0.003X; v'=-0.003e^-0.003X( car dérivé de -0.003X est égale à -0.003).
Pour que tout soit claire il faut toujours poser comme ça.

Ainsi f'(X)=950e^-0.003X + [-0.003e^(-0.003X)*950X]
=950e^-0.003X - 0.003e^(-0.003X)*950X]
On remarque qu'il y a de part et d'autre du -il y a 950e^-0.003X, donc on peux mettre en facteur ce produit (950e^-0.003X)

ce qui nous donne :fleche: f'(X)=950e^-0.003X(1-0.003X)
=950(1-0.003X)e^-0.003X on trouve bien la meme chose que l'énoncé :smile:


2°) On nous à demander de vérifier f'(X) car c'est ça qui va nous permettre de trouver le sens de variation de f ( il y a pratiquement toujours un lien entre les questions dans une étude de fonction).

Alors, nous avons donc un produit, f'(X)=950(1-0.003X)e^-0.003X, on sépare donc 950(1-0.003X) de e^-0.003X,
on cherche d'abord quand 950(1-0.003X)=0 ; c'est une équation du premier degrés pas de difficulté particulière, on résoud l'équation :
:fleche: 950(1-0.003X)=0
équivaut à 950-950*0.003X=0
éq à X=-950/-2.85=333.33

Ensuite il faut résoudre e^-0.003X, cours: pour tout réel X, e^X existe et e^X>0,, donc on résout e^-0.003X>0, aucune difficulté ici l'expression est toujours vraie , on peut maintenant passer au tableau:


TABLEAU DE SIGNE:
200 333.33 500

950(1-0.003X) + o - (signe de X a droite)

e^-0.003X + +

f'(X) + o -

Il faut toujours séparé tableaux de signe et tableau de variation,

TABLEAU DE VARIATION:

200 333.33 500

f'(X) + o -

f(X) 104274 flèche monte 116495 flèche déscant 105987


pour trouver 104274,116495 et 105987, je ne me suis pas casser la tete a calculer c'est une perte de temps, j'ai donc utilisé la calculatrice(c'est autorisé), en meme temps ça me permet de vérifier que je me suis pas tromper :wink2: .


3°) pour compléter le tableux, je fais pareil, c'est à dire que j'utilise la calculatrice, pour X=200, je trouve f(X)= 104274 , apparement ils ont du arrondir puisqu'il marque 104000 , donc je continu pareil pour les autre ce qui nous fais:

X 200 250 300 350 400 450 500

f(X) 104000 112000 116000 116000 114000 111000 106000

Partie B:

Le plus gros travaille a été fais dans la partie A, maitenant il suffit juste d'appliquer, c'est tout bète.

1°)On nous dit, le nombre d'achat= y=950 e^-0.003X
prix de vente = X

:fleche: la recette est égale au prix muultiplié au nombre d'achat donc y*X, donc (950 e^-0.003X) * X= 950Xe^-0.003X=f(X).

2°)On nous demande le prix de vente pour lequel la recette est maximale, en gros il faut trouver le maximum de la fonction f.

Dans la partie A, nous l'avons trouver, en effet f admet un maximum de 116495 pour X=333.33, donc le prix de vente pour lequel la recette est maximale est de 333 francs et le montant de la recette est de 116495.

Voilà j'éspère que tu va comprendre :chessy: , en tout qu'à si tu as des questions n'hésite surtout pas :wink2: .