Etudier le signe d'une fonction

[koade9doctor]

Bonjour,

On me demande dans un premier temps de déterminer la dérivée de f, puis d'en déduire son sens de variation.

f(x)= ln (2x) - e^(-2x) définie sur ]0;+oo[

f(x) est de la forme u + v avec u = ln (2x) et v = - e^(-2x)
on a donc u'= 1/(2x) et v'= 2e^(-2x)
f'(x)=1/(2x) + 2e^(-2x)

Une exponentielle étant toujours strictement positive donc f'(x) est du signe de 1/(2x)

et par conséquent f'(x)<0 quand x<0
f'(x)>0 quand x>0
J'en conclu que f est croissante sur l'intervalle ]0;+oo[

Maintenant, on me demande d'étudier le signe de f sur ]0;+oo[
Sur ma calculatrice, je remarque bien que lorsque x<1 :fleche: les valeurs de f(x) sont négative et lorsque x>1 :fleche: les valeurs de f(x) sont positives. Mais comment le démontrer ? avec la dérivée? :mellow:

Merci

 

[gluss]

f(x)= ln (2x) - e^(-2x) définie sur ]0;+oo[

Ta dérivée est fausse !

ln (2x) est de la forme ln (u) et la dérivée [ln (u)]' = u' / u
De même e[sup](-2x)[/sup] est de la forme e[sup](u)[/sup] et la dérivée [e[sup](u)[/sup]]' = u'e[sup](u)[/sup]
Donc f'(x) = 2/2x + 2e[sup](-2x)[/sup] = 1/x + 2e[sup](-2x)[/sup]

Sachant que la fonction f(x) est toujours croissante sur ]0;+oo[, donc elle change de signe quand f(x) = 0 donc quand ln (2x) - e[sup](-2x)[/sup] = 0
Avec la calculatrice,on trouve x = 0,65489979290...
Donc f(x) < 0 sur l'intervalle ]0 ; 0,65489979290...[
f(x) = 0 quand x = 0,65489979290...
et f(x) > 0 quand x > 0,65489979290...