limite d'une fonction exponentielle

[darling59]

Bonjour,
j'ai un probléme sur la limite d'une fonction exponentielle, car même si je la transforme, je retrouve toujours sur une forme indéterminée, du type infini sur infini.

Elle est définie sur R par: f(x)=[((x+1)e^x)+x+6]/(e^x+1)

la première question, il faut déterminer la limite a = lim f(x)/x, quand x tend vers +infini
je crois qu'il faut tout d'abord définir la limite de f(x). Or, on a
lim e^x= + infini quand x tend vers + infini donc lim (e^x+1) quand x tend vers + infini= + infini

de même, lim (x+1)e^x= +infini, car lim xe^x+e^x = + infini.
on a donc une FI.

je factorise donc [(x+1)+x+6]/[e^x(1+1/e^x)], mais cela ne me méne à rien.

Si vous avez une solution à mon probléme, pouvez vous m'aider, je vous remercie d'avance. (conseil: réecrivez les formules sur papier, cela sera surement plus compréhensible).

 

[gluss]

Bonjour,
j'ai un probléme sur la limite d'une fonction exponentielle, car même si je la transforme, je retrouve toujours sur une forme indéterminée, du type infini sur infini.

Elle est définie sur R par:  f(x)=[((x+1)e^x)+x+6]/(e^x+1)

la première question, il faut déterminer la limite a = lim f(x)/x, quand x tend vers +infini
je crois qu'il faut tout d'abord définir la limite de f(x). Or, on a
                      lim e^x= + infini quand x tend vers + infini donc  lim (e^x+1) quand x tend vers + infini= + infini

                      de même, lim (x+1)e^x= +infini, car   lim xe^x+e^x = + infini.
on a donc une FI.

je factorise donc  [(x+1)+x+6]/[e^x(1+1/e^x)], mais cela ne me méne à rien.

Si vous avez une solution à mon probléme, pouvez vous m'aider, je vous remercie d'avance. (conseil: réecrivez les formules sur papier, cela sera surement plus compréhensible).

Tu étais bien parti, mais tu t'es trompé en factorisant.

Je m'explique:
f(x)=[((x+1)e[sup]x[/sup])+x+6]/(e[sup]x[/sup]+1)

Si tu factorise par e[sup]x[/sup], cela donne :
f(x)= e[sup]x[/sup][(x+1)+((x+6)/e[sup]x[/sup])]/e[sup]x[/sup](1+(1/e[sup]x[/sup]))
Donc cela donne:
f(x)= [(x+1)+((x+6)/e[sup]x[/sup])]/(1+(1/e[sup]x[/sup]))
Sachan que 1/e[sup]x[/sup] = e[sup]-x[/sup]
Donc f(x) = [(x+1)+((x+6)*e[sup]-x[/sup])]/(1+e[sup]-x[/sup])

Donc lim du premier terme quand x tend vers + l'infini :
lim (x+1)+((x+6)*e[sup]-x[/sup]) = lim x+1 car lim e[sup]-x[/sup] = 0

Et lim du deuxième terme quand x tend vers + l'infini :
lim (1+e[sup]-x[/sup]) = 1 car lim e[sup]-x[/sup] = 0

Ce qui donne lim f(x) quand x tend vers + l'infini :
lim f(x) = (x+1)/1 = x+1 = + l'infini

Voila, il me semble que c'est cela si je me suis pas trompé. :wink2:

 

[darling59]

Châpeau, merci beaucoup pour votre réponse! :dacc:
j'avais essayé aprés ce post de factoriser même le numérateur c'est à dire [(x+1)+x+6]= [(x+1)+((x+6)/ex)] et j'arrivais ensuite au même résultat que vous aprés avoir supprimé e^x. cependant, je crois que je n'aurais pas eu la présence d'esprit d'utiliser l'égalité 1/ex = e-x. Alors encore merci.

Cependant, la question demande de trouver la limite en a=f(x)/x, quand x tend vers + infini.

lim f(x), d'aprés votre raisonnement tend vers + infini, et x tend lui aussi vers + infini.
On a encore une fois une FI. :embarassed:
que faut-il faire? dernière question, pour les autres, je me débrouillerrai :smile:

 

[gluss]

Châpeau, merci beaucoup pour votre réponse!   :dacc:
j'avais essayé aprés ce post de factoriser même le numérateur c'est à dire [(x+1)+x+6]= [(x+1)+((x+6)/ex)] et j'arrivais ensuite au même résultat que vous aprés avoir supprimé e^x. cependant, je crois que je n'aurais pas eu la présence d'esprit d'utiliser l'égalité 1/ex = e-x. Alors encore merci.

Cependant, la question demande de trouver la limite en a=f(x)/x, quand x tend vers + infini.

lim f(x), d'aprés votre raisonnement tend vers + infini, et x tend lui aussi vers + infini.
On a encore une fois une FI.   :embarassed:
que faut-il faire? dernière question, pour les autres, je me débrouillerrai :smile:

Excuse moi, j'avais pas compris la question !

Mais en fait, c'est tout simple.

Maintenant que l'on a trouvé que lim f(x) quand x tend vers + l'infini :
lim f(x) = (x+1)/1 = x+1

On divise par x, ce qui donne lim f(x)/x quand x tend vers + l'infini :
lim f(x)/x = (x+1)/x = 1+(1/x) = 1 car lim 1/x=0

Voila, je pense que c'est ça ! :wink2:

 

[darling59]

Merci beaucoup pour votre aide! j'ai fait un bac S, et si j'avais eu un prof de math comme vous, j'aurais eu beaucoup plus de facilité pour obtenir mon bac.