Besoin d'aide : calcul intégral et intégration

[Moka75]

Bonjour,

Je devais faire ces exercices pour la semaine dernière mais je n'y suis pas arrivé. Malheureusement mon professeur n'a pas eu le temps de les corriger et j'ai un DS jeudi sur ce genre d'exercice.
C'est pourquoi je vous demande de l'aide afin de mon donner une correction afin de pouvoir reviser et avoir une chance a mon DS.

Merci beaucoup

EXERCICE 1:

Soit f la fonction définie sur [1;2] par: f(x)=ln ((x)/(x+2))

1) Vérifier que f'(x)= (2)/(x(x+2))

2) A l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégralle I= intégralle de 1 à 2 ln ((x)/(x+2)) dx

Donner la valeur arrondie à 10^-3 de I

On posera u(x)=ln ((x)/(x+2)) et v'=1


EXERCICE 2:

1) Vérifier que, pour tout réel x>1, on a:

(x²)/(x²-1) = 1 - ((1)/(2(2x+1))) + ((1)/(2(x-1)))

2) En utilisant le résultat précédent, calculer l'intégralle I=intégralle de 2 à 3 (x²)/(x²-1) dx

3) A l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégralle J=intégralle de 2 à 3 ln (x²-1) dx

On posera u(x)=ln (x²-1) et v'(x)=1



Désolée pour l'écriture, j'espère que c'est assez compréhensible

 

[Asiany]

As tu réussi quelques questions ? Si oui lesquels ? Qu'as tu trouvé ?
Quelles sont les choses que tu ne comprends pas ? C'est plus facile pour savoir sur quel point tu bloques.

 

[Asiany]

Es tu sûr de ton énoncé ? Il me parait bizarre suivant ta fonction que tu nous a donné, de trouver une dérivé sans retrouvé le ln x.
La fonction f ne serait pas plutôt f(x) = ln ( x/(x+2) ) ??

 

[Moka75]

oui tu as raison j'ai fais les quelques modifications merci.
En fait ce que je ne comprends pas c'est l'intégration par partieset calcul d'intégral

 

[Asiany]

Voilà pour la question 2 de l'exercice 1

La formule de l'intégration par partie est la suivante :
Intégrale de a à b u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)] de a à b - intégrale de a à b de u(x)v'(x) dx

Tu appliques alors la formule, en posant u(x) = ln( x /(x+2))
et v'(x) = 1

Ainsi on obtient

(Je note I(a,b) l'intégrale de a à b)

I(a,b)u'(x)v(x)dx = [u(x)v(x)](a,b) - I(a,b)u(x)v'(x) dx

Il ne te suffit plus qu'à remplacer par les ce que tu connais sachant que u'(x) = f'(x) de ta question 1

<=> I(1,2)((2)/(x(x+2)))*x = [ln( x /(x+2))*x](1,2) - I(1,2)ln( x /(x+2))dx
<=> I(1,2)ln( x /(x+2))dx = [ln( x /(x+2))*x](1,2) - I(1,2)((2)/(x(x+2)))*x dx
<=> I(1,2)ln( x /(x+2))dx = 2ln(1/2) - ln(1/3) - [(2)/(x(x+2))](1,2)
<=> I(1,2)ln( x /(x+2))dx = 2ln(1/2) - ln(1/3) - ( (1/4) - (2/3) )
<=> I(1,2)ln( x /(x+2))dx = (j'ai pas de calculette)

PS: C'est pas facile d'écrire sans symbole :cry:

 

[Moka75]

d'accord je vais commencer a m'y mettre ce soir. Merci beaucoup pour ton aide

 

[Moka75]

J'ai un problème deja pour la question 1 de l'exercice 1 je ne trouve pas pareil je trouve f'(x)=(2)/(x(X+2))².
Il me semble avoir appliquer la bonne formule pourtant...

 

[Asiany]

Quel formule as tu appliquée ?

 

[Moka75]

Je pense avoir reussi le 1er exercice.
Par contre je n'arrive pas a la question 2 et 3 de l'exercice 2.
Merci de m'aider

 

[Asiany]

Salut, pour l'exercice 2 à la question 1, (x²)/(x²-1) = 1 - ((1)/(2(2x+1))) + ((1)/(2(x-1)))
Ce que tu obtiens c'est la dérivé de (x²)/(x²-1) ???

 

[Moka75]

\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x²}dx

 

[Asiany]

Hein ?! :blink: