misscatalunya
New Member
slt à tous
(10 points)
Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + °°[ par :
Soit (C) sa courbe dans un repère orthogonal (O, i, j ), unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées.
Partie A
2
1. Calculer lim f(x) ; démontrer que ÎW - 4 — /=- et en déduire lim f(x) .
x-*0 (_ V* J ;^+00
2. Montrer que f (x) est du signe de (2 - lnx).lnx et étudier les variations de f.
3. Construire le tableau des variations de f.
Partie B
Soient a, a e R^, A le point de (C) d'abscisse a, et (Ta) la tangente à (C) en A.
1. Ecrire une équation de (Ta).
2. Déterminer les réels a pour lesquels (7" ) passe par l'origine O.
3. Donner une équation de chacune des tangentes à (C) passant par l'origine O.
Partie C
<!>, et <|>2 sont les deux fonctions définies sur R^ par :
<t>,(X) = x - e. Inx et §2(x) = x + e. Inx.
1. Etudier les variations de <|>(, en déduire les solutions de l'équation <(>, (x) - 0 .
2. Etudier le sens de variation de <|>2; en déduire que l'équation <|>2 (x) = 0 admet une unique solution a dans R^ et donner un encadrement de a d'amplitude 1CH.
3. Soit (8) la droite d'équation y = — x
À l'aide de ce qui précède, déterminer les points d'intersection de (C) et (ô).
— » — >
4. Construire (C) et (ô) dans le repère (O, i , j ) .
Partie D
4
Déterminer la primitive de F de f sur R+ qui vér ifie : F€ = —
3.
(5 points)
La série statistique suivante donne la répartition des ventes, en euro, d'appareils électroménagers d'une grande surface
Prix xt
OàlOO
100 à 200
200 à 300
300 à 400
400 à 500
Effectif nt
4
125
452
367
27
1. Représenter l'histogramme ainsi que le polygone des effectifs.
On choisira sur l'axe des abscisses 2 cm pour 100 euros et sur l'axe des ordonnées 1 cm pour 50
appareils.
2. Dans un second repère, représenter les polygones des effectifs cumulés croissants et décroissants
des effectifs.
On choisira sur l'axe des abscisses 2 cm pour 100 euros et sur l'axe des ordonnées 1 cm pour 100
appareils.
En déduire une valeur approchée de la médiane Me.
3. Calculer l'écart interquartile Q3 - Qj des prix.
4. A l'aide de votre calculatrice, calculer la moyenne x et l'écart type a des prix.
5. Déterminer le pourcentage des prix dont les valeurs sont supérieures à "x + a.
(5 points) «Jouons au spam de chez spam»
Un jeu de 52 cartes est composée de quatre couleurs (c'est à dire de 4 marques distinctes : *, *, v et *) de treize cartes chacune dont l'ordre des valeurs est : As, roi, dame, valet, 10, 9, 8 et 7. On tire 5 cartes simultanément.
1. Déterminer le nombre de tirages possibles.
2. Déterminer le nombre de tirages comportant :
a) Un «royal flush» : cinq cartes de la même couleur et consécutives, (ex : As*, roi*, dame*, valet* et 10* ou encore 5*, 4*, 3*, 2* et As*).
b) Un carré (ex : 4 rois);
c) Une couleur (ex : 5 trèfles);
d) Un «full» (ex : 3 valets et 2 rois);
e) Un brelan (ex : 3 rois).
(10 points)
Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + °°[ par :
Soit (C) sa courbe dans un repère orthogonal (O, i, j ), unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées.
Partie A
2
1. Calculer lim f(x) ; démontrer que ÎW - 4 — /=- et en déduire lim f(x) .
x-*0 (_ V* J ;^+00
2. Montrer que f (x) est du signe de (2 - lnx).lnx et étudier les variations de f.
3. Construire le tableau des variations de f.
Partie B
Soient a, a e R^, A le point de (C) d'abscisse a, et (Ta) la tangente à (C) en A.
1. Ecrire une équation de (Ta).
2. Déterminer les réels a pour lesquels (7" ) passe par l'origine O.
3. Donner une équation de chacune des tangentes à (C) passant par l'origine O.
Partie C
<!>, et <|>2 sont les deux fonctions définies sur R^ par :
<t>,(X) = x - e. Inx et §2(x) = x + e. Inx.
1. Etudier les variations de <|>(, en déduire les solutions de l'équation <(>, (x) - 0 .
2. Etudier le sens de variation de <|>2; en déduire que l'équation <|>2 (x) = 0 admet une unique solution a dans R^ et donner un encadrement de a d'amplitude 1CH.
3. Soit (8) la droite d'équation y = — x
À l'aide de ce qui précède, déterminer les points d'intersection de (C) et (ô).
— » — >
4. Construire (C) et (ô) dans le repère (O, i , j ) .
Partie D
4
Déterminer la primitive de F de f sur R+ qui vér ifie : F€ = —
3.
(5 points)
La série statistique suivante donne la répartition des ventes, en euro, d'appareils électroménagers d'une grande surface
Prix xt
OàlOO
100 à 200
200 à 300
300 à 400
400 à 500
Effectif nt
4
125
452
367
27
1. Représenter l'histogramme ainsi que le polygone des effectifs.
On choisira sur l'axe des abscisses 2 cm pour 100 euros et sur l'axe des ordonnées 1 cm pour 50
appareils.
2. Dans un second repère, représenter les polygones des effectifs cumulés croissants et décroissants
des effectifs.
On choisira sur l'axe des abscisses 2 cm pour 100 euros et sur l'axe des ordonnées 1 cm pour 100
appareils.
En déduire une valeur approchée de la médiane Me.
3. Calculer l'écart interquartile Q3 - Qj des prix.
4. A l'aide de votre calculatrice, calculer la moyenne x et l'écart type a des prix.
5. Déterminer le pourcentage des prix dont les valeurs sont supérieures à "x + a.
(5 points) «Jouons au spam de chez spam»
Un jeu de 52 cartes est composée de quatre couleurs (c'est à dire de 4 marques distinctes : *, *, v et *) de treize cartes chacune dont l'ordre des valeurs est : As, roi, dame, valet, 10, 9, 8 et 7. On tire 5 cartes simultanément.
1. Déterminer le nombre de tirages possibles.
2. Déterminer le nombre de tirages comportant :
a) Un «royal flush» : cinq cartes de la même couleur et consécutives, (ex : As*, roi*, dame*, valet* et 10* ou encore 5*, 4*, 3*, 2* et As*).
b) Un carré (ex : 4 rois);
c) Une couleur (ex : 5 trèfles);
d) Un «full» (ex : 3 valets et 2 rois);
e) Un brelan (ex : 3 rois).