exercice

[dydo92]

salut tout le monde j'ai une équation qui me posse quelques difficulté et je demande de l'aide MERCI :


les équations différentielles à variables séparables suiventes :
1) yy'+X=0

 

[gluss]

salut tout le monde j'ai une équation qui me posse quelques difficulté et je demande de l'aide MERCI :


les équations différentielles à variables séparables suiventes :
1) yy'+X=0

Il me semble que c'est une équation différentiel homogène du 1er ordre de la forme y' = -x/y

Donc on pose y = tx (t étant fonction de la variable x)
On remplace y par tx dans l'équation :
y' = - x/y donc y' = -x/tx
donc y' = -1/t

Ensuite on remplace y' par dy/dx (y' = dy/dx)
y' = -1/t donc dy/dx = -1/t

Puis, nous avons dy/dx = t + xdt/dx et la fonction inconnue t est solution de l'équation :
t + xdt/dx = f(t) qui doit s'écrire dx/x = dt/(f(t) - t)

Donc on remplace dy/dx par t + xdt/dx (dy/dx = t + xdt/dx) dans l'équation
dy/dx = -1/t donc t + xdt/dx = -1/t
donc dx/x = dt/(-1/t - t)

Pour finir, on intégre :
Primitive dx/x = F(t) + K
donc primitive dx/x = primitive dt/((-1/t) - t)
donc primitive dx/x = primitive dt/((-1 - t[sup]2[/sup])/t) (car (-1/t) - t = (-1 - t[sup]2[/sup])/t)
donc primitive dx/x = primitive tdt/(-1 - t[sup]2[/sup])

La dérivée de ln(-1-t[sup]2[/sup]) = -2t/(-1 - t[sup]2[/sup]) donc pour avoir -2t/(-1 - t[sup]2[/sup]) on multiplie par -2 dans notre équation et on multiplie par -1/2 pour équilibrer
donc primitive dx/x = -1/2 primitive -2tdt/(-1 - t[sup]2[/sup])
donc ln [x] = -1/2 ln[(-1-t[sup]2[/sup])] + C'

Donc x = Ce[sup]-1/2 ln[(-1-t[sup]2[/sup])][/sup] donc x = C(1/racine carrée(-1-t[sup]2[/sup]))

et y = Cte[sup]-1/2 ln[(-1-t[sup]2[/sup])][/sup] donc y = C(t/racine carrée(-1-t[sup]2[/sup]))


Voila je pense que c'est cela ! :wink2:

 

[dydo92]

merçi

salut, merçi pour le coups de mains est-ce que vous pouriez me renseigner sur les types de calculatrice pour mes exercices . :wink2: