Totaux mobiles / moyennes mobiles
- Auteur de la discussion kayz-r
- Date de début
la tendance a long terme pour les entreprise (croissance, décroissance, stagnation ...) est brouillé par les variations saisonnieres.
les totaux mobiles et les moyennes mobiles permettent de gommer les variations.
pour 1mois donné, le total mobile est égal au total du CA du mois étudié et de ceux des onzes mois précédents.
Moyenne mobile = total mobile /12
les totaux mobiles et les moyennes mobiles permettent de gommer les variations.
pour 1mois donné, le total mobile est égal au total du CA du mois étudié et de ceux des onzes mois précédents.
Moyenne mobile = total mobile /12
essaie ici peut etre qu'ils pourront mieu t'expliquer:
http://www.conseil-creation.com/decf/mathematiques/moindres_carres.php
http://www.conseil-creation.com/decf/mathematiques/moindres_carres.php
La représentation graphique d’une série chronologique est identique à celle d’une série statistique à 2 variables. Le temps est alors considéré comme la variable explicative.
On peut représenter les séries chronologiques grâce à des chronogrammes ou des diagrammes polaires.
Exemple : La société Desbos, qui fabrique des boissons sans alcool, a réalisé un chiffre d’affaires proche de 100 millions de francs. Son nouveau directeur a demandé au directeur commercial d’élaborer des prévisions des ventes trimestrielles pour l’année prochaine, en utilisant les informations relatives aux chiffres des 3 dernières années :
Années / Trimestres Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 4
N-3 16,4 23 34 12,4
N-2 17,4 24,5 36 14
N-1 19 25,8 39 15
1.1 Les chronogrammes
Un chronogramme comporte en abscisses le temps et en ordonnées la seconde variable représentée (CA).
1.2 Le chronogramme séquentiel
1.2 Le chronogramme parallèle
1.2 Le diagramme polaire
Il consiste à définir autant d’axes que la série comporte d’unités de temps de références : 4 pour des séries trimestrielles...
Sur cette base, il est alors possible de superposer les observations des différentes années étudiées et de mettre en évidence les variations saisonnières et l’évolution des ventes.
On constate une croissance régulière de l’activité, qui s’accompagne d’une assez forte saisonnalité (avec un troisième trimestre de forte activité et un quatrième trimestre plus faible) ceci s’explique sans doute par le type de produit vendu (boissons désaltérantes).
Les représentations graphiques permettent de mettre en évidence :
v la tendance (ou trend) qui représente l’évolution à long terme de la variable (ici CA),
v les mouvements saisonniers (ou variations saisonnières) qui s’ajoutent à la tendance, et reflètent les variations à court terme de la variable (ici le trimestre) dues à des raisons climatiques (été pour les boissons sans alcool), des habitudes de consommations (Noël pour les jouets...).
2. La détermination de la tendance (ou trend)
Il s’agit d’étudier une série chronologique, c’est à dire une série statistique à 2 variables dont l’une est le temps.
Étudier la tendance, c’est déterminer le mouvement à « long terme » ou fondamental de la série. Pour cela, on fait l’hypothèse que la relation est linéaire. L’équation de la droite de régression est alors l’expression de la tendance de la série chronologique.
2.1 La méthode de la double moyenne (ou de Mayer)
2.1.1 Principe
Elle consiste à répartir l’ensemble des observations en 2 groupes (A et B) de même dimension (comprenant le même nombre d’observations).
Pour chaque groupe, on calcule ensuite les coordonnées du point moyen : celles-ci sont obtenues en faisant la moyenne arithmétique des abscisses et des ordonnées des points de chaque groupe.
On obtient ainsi les 2 points :
K de coordonnées (xK,yK) point moyen sur le premier groupe d’observations
xK = å xi / n
yK = å yi / n
v L de coordonnées (xL,yL) point moyen sur le premier groupe d’observations
xL = å xi / n
yL = å yi / n
On cherche ensuite les coefficients de la droite (D) d’équation y = a . x + b qui passe par K et L.
Il est possible de calculer a et b tels que :
yK = a . xK + b
yL = a . xL + b
La solution de ce système à 2 équations à 2 inconnues (a et b) est unique. On peut la calculer par substitution.
Exemple : On va présenter l’ensemble des observations dans un tableau. L’effectif est pair (12 observations), aussi est-il possible de constituer 2 groupes de 6 (12 / 2) observations et de calculer les points moyens.
Trimestre xi Chiffre d’affaires yi
Groupe K 1 16,4
2 23,0
3 34,0
4 12,4
5 17,4
6 24,5
Total 21 127,7
Le point moyen du groupe K correspond à :
v un trimestre : xK = (21 / 6) = 3,5
v un chiffre d’affaires : yK = (127,7 / 6) = 21,283
A un trimestre de coordonnées 3,5 correspond donc un chiffre d’affaires de 21,283 millions de francs.
Trimestre xi Chiffre d’affaires yi
Groupe L 7 36,0
8 14,0
9 19,0
10 25,8
11 39,0
12 15,0
Total 57 148,8
Le point moyen du groupe L correspond à :
v un trimestre : xL = (57 / 6) = 9,5
v un chiffre d’affaires : yL = (148,8 / 6) = 24,8
A un trimestre de coordonnées 9,5 correspond donc un chiffre d’affaires de 24,8 millions de francs.
On obtient donc : (xK,xK) = (3,5 ; 21,283) (xL,yL) = (9,5 ; 24,8)
La droite de tendance y = ax + b passe par ces 2 points. On peut la représenter sur le chronogramme séquentiel.
Le système à résoudre est donc :
yK = a . xK + b 21,283 = a . 3,5 + b
yL = a . xL + b 24,8 = a . 9,5 + b
Résolution par soustraction
24,8 = a . 9,5 + b
-21,283 = - a . 3,5 - b
3,517 = a .6 d’où a = 3,517 / 6 = 0,586
et b = 24,8 - (0,586 x 9,5) = 19,233
Ainsi la droite de tendance est : y = 0,586 x + 19,233
2.1.2 Utilité et remarques
Il est sur cette base possible de calculer des prévisions des ventes pour les trimestres suivants :
La tendance pour le 13ème trimestre : y13 = 0,586 x 13 + 19,233 = 26,851
Remarque : on constate que ce chiffre d’affaires est très éloigné de ceux enregistrés les années précédentes. Ceci s’explique par le fait que le calcul effectué est un calcul de tendance qui néglige la saisonnalité des ventes. Ainsi, sera-t-il nécessaire de procéder au calcul des coefficients saisonniers pour pouvoir déterminer une prévision fiable.
2.2 La méthode des moindres carrés
2.2.1 Principe
Il s’agit d’appliquer la méthode des moindres carrés pour déterminer les coefficients de la droite y = a . x + b.
Cette méthode sera plus fiable que la méthode de Mayer pour évaluer la tendance.
2.2.2 Exemple
Trimestre xi Chiffre d’affaires yi xi² yi² xi . yi
1 16,4 1 268,96 16,4
2 23 4 529 46
3 34 9 1 156 102
4 12,4 16 153,76 49,6
5 17,4 25 302,76 87
6 24,5 36 600,25 147
7 36 49 1 296 252
8 14 64 196 112
9 19 81 361 171
10 25,8 100 665,64 258
11 39 121 1 521 429
12 15 144 225 180
78 276,5 7 275,37 650 1 850
n = 12 (nombre de trimestres).
Moyenne des x : xb = å xi / n = 78 / 12 = 6,5
Chiffre d’affaires moyen : yb = å yi / n = 276,5 / 12 = 23,0417
Les coefficient de la droite de régression (a et b) sont alors :
a = (å xi yi / n) - xb yb / (å xi² / n) - xb² = (1 850 / 12) - (6,5 x 23,0417) / (650 / 12) - 6,5² = 0,369
b = y - a . x = 23,0417 - 0,369 x 6,5 = 20,644
L’équation de la droite de régression est donc : y = 0,369 x + 20,644
Ceci permet d’effectuer les prévisions de ventes pour l’année N.
y13 = 0,369 x 13 + 20,644 = 25,441
y14 = 0,369 x 14 + 20,644 = 25,81
y15 = 0,369 x 15 + 20,644 = 26,179
y16 = 0,369 x 16 + 20,644 = 26,548
103,978 millions de francs
2.3 La méthode des totaux mobiles (TM)
La méthode des totaux consiste à annuler la composante saisonnière des données pour procéder à l’étude de la tendance.
2.3.1 Calcul des totaux mobiles
Le principe des totaux mobiles consiste à effectuer un calcul de chiffre d’affaires cumulé pour tout groupe de n données consécutives, c’est à dire si l’on suppose que n=4 (4 trimestres) : les totaux mobiles seront constitués par les chiffres d’affaires totaux calculés à partir des données suivantes :
On appellera total mobile, le total constitué par les ventes de n (ici 4 périodes) et moyennes mobiles la somme obtenue en divisant le total mobile par n.
ainsi :
Total mobile du trimestre i (année N) = Total mobile du trimestre i-1 (année N) + CA du trimestre i (année N) - CA du trimestre i (année N-1)
Sur cette base, il est possible de procéder au calcul du trend en appliquant aux totaux mobiles les méthodes d’ajustement vues aux A et B (méthode de Mayer ou des moindres carrés).
Exemple : Dans un premier temps, il est nécessaire de calculer les totaux mobiles. Puis, il est possible d’appliquer sur la série chronologique (xi TMi) les méthodes d’ajustement.
La série (xi, TMi) n’est définie que sur 9 observations.
x = 72 / 9 = 8
TM = 828 / 9 = 92
a = (6 725,2 / 9) - (8 x 92) / (636 / 9) - 8²
b = 92 - (1,687 x 8) = 78,507
La droite de régression est donc : TM = 1,687 x + 78,507
2.3.2 Remarques et utilisation
La méthode des totaux mobiles a le mérite de « lisser » les données c’est à dire d’éliminer l’impact de la saisonnalité sur les variables. Les résultats obtenus avec cette méthode (en termes de totaux mobiles ou de moyennes mobiles) sont qualifiés de « corrigés des variations saisonnières » (CVS).
Cette méthode est la plus utilisée pour procéder à la correction des variations saisonnières que ce soit par les entreprises ou les instituts économiques (données CVS du chômage...).
Prévision : il est possible d’utiliser la droite de régression pour effectuer des prévisions.
Pour l’année N : total mobile = 12 + 4 =16 1,687 x 16 + 78,507 = 105,499 millions de francs.
2.4 Conclusion sur le trend et les prévisions
On remarque la dispersion assez importante des prévisions effectuées pour l’année N.
Méthode Mayer : 110,920
Méthode des moindres carrés : 103,978
Méthode des totaux mobiles 105,499
Or, un écart de prévision de plusieurs millions de francs de chiffre d’affaires peut être très préjudiciable à l’entreprise.
La méthode la plus fiable consiste à pratiquer un ajustement linéaire (par les moindres carrés) : sur les totaux mobiles dans le cas de données trimestrielles, ou sur des données annuelles ce qui permet de neutraliser les variations saisonnières.
L’entreprise doit cependant procéder à une analyse de son environnement pour rendre crédible les prévisions : il lui faut en effet prendre en compte les fluctuations, mais aussi les actions des concurrents et de l’entreprise.
On peut représenter les séries chronologiques grâce à des chronogrammes ou des diagrammes polaires.
Exemple : La société Desbos, qui fabrique des boissons sans alcool, a réalisé un chiffre d’affaires proche de 100 millions de francs. Son nouveau directeur a demandé au directeur commercial d’élaborer des prévisions des ventes trimestrielles pour l’année prochaine, en utilisant les informations relatives aux chiffres des 3 dernières années :
Années / Trimestres Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 4
N-3 16,4 23 34 12,4
N-2 17,4 24,5 36 14
N-1 19 25,8 39 15
1.1 Les chronogrammes
Un chronogramme comporte en abscisses le temps et en ordonnées la seconde variable représentée (CA).
1.2 Le chronogramme séquentiel
1.2 Le chronogramme parallèle
1.2 Le diagramme polaire
Il consiste à définir autant d’axes que la série comporte d’unités de temps de références : 4 pour des séries trimestrielles...
Sur cette base, il est alors possible de superposer les observations des différentes années étudiées et de mettre en évidence les variations saisonnières et l’évolution des ventes.
On constate une croissance régulière de l’activité, qui s’accompagne d’une assez forte saisonnalité (avec un troisième trimestre de forte activité et un quatrième trimestre plus faible) ceci s’explique sans doute par le type de produit vendu (boissons désaltérantes).
Les représentations graphiques permettent de mettre en évidence :
v la tendance (ou trend) qui représente l’évolution à long terme de la variable (ici CA),
v les mouvements saisonniers (ou variations saisonnières) qui s’ajoutent à la tendance, et reflètent les variations à court terme de la variable (ici le trimestre) dues à des raisons climatiques (été pour les boissons sans alcool), des habitudes de consommations (Noël pour les jouets...).
2. La détermination de la tendance (ou trend)
Il s’agit d’étudier une série chronologique, c’est à dire une série statistique à 2 variables dont l’une est le temps.
Étudier la tendance, c’est déterminer le mouvement à « long terme » ou fondamental de la série. Pour cela, on fait l’hypothèse que la relation est linéaire. L’équation de la droite de régression est alors l’expression de la tendance de la série chronologique.
2.1 La méthode de la double moyenne (ou de Mayer)
2.1.1 Principe
Elle consiste à répartir l’ensemble des observations en 2 groupes (A et B) de même dimension (comprenant le même nombre d’observations).
Pour chaque groupe, on calcule ensuite les coordonnées du point moyen : celles-ci sont obtenues en faisant la moyenne arithmétique des abscisses et des ordonnées des points de chaque groupe.
On obtient ainsi les 2 points :
K de coordonnées (xK,yK) point moyen sur le premier groupe d’observations
xK = å xi / n
yK = å yi / n
v L de coordonnées (xL,yL) point moyen sur le premier groupe d’observations
xL = å xi / n
yL = å yi / n
On cherche ensuite les coefficients de la droite (D) d’équation y = a . x + b qui passe par K et L.
Il est possible de calculer a et b tels que :
yK = a . xK + b
yL = a . xL + b
La solution de ce système à 2 équations à 2 inconnues (a et b) est unique. On peut la calculer par substitution.
Exemple : On va présenter l’ensemble des observations dans un tableau. L’effectif est pair (12 observations), aussi est-il possible de constituer 2 groupes de 6 (12 / 2) observations et de calculer les points moyens.
Trimestre xi Chiffre d’affaires yi
Groupe K 1 16,4
2 23,0
3 34,0
4 12,4
5 17,4
6 24,5
Total 21 127,7
Le point moyen du groupe K correspond à :
v un trimestre : xK = (21 / 6) = 3,5
v un chiffre d’affaires : yK = (127,7 / 6) = 21,283
A un trimestre de coordonnées 3,5 correspond donc un chiffre d’affaires de 21,283 millions de francs.
Trimestre xi Chiffre d’affaires yi
Groupe L 7 36,0
8 14,0
9 19,0
10 25,8
11 39,0
12 15,0
Total 57 148,8
Le point moyen du groupe L correspond à :
v un trimestre : xL = (57 / 6) = 9,5
v un chiffre d’affaires : yL = (148,8 / 6) = 24,8
A un trimestre de coordonnées 9,5 correspond donc un chiffre d’affaires de 24,8 millions de francs.
On obtient donc : (xK,xK) = (3,5 ; 21,283) (xL,yL) = (9,5 ; 24,8)
La droite de tendance y = ax + b passe par ces 2 points. On peut la représenter sur le chronogramme séquentiel.
Le système à résoudre est donc :
yK = a . xK + b 21,283 = a . 3,5 + b
yL = a . xL + b 24,8 = a . 9,5 + b
Résolution par soustraction
24,8 = a . 9,5 + b
-21,283 = - a . 3,5 - b
3,517 = a .6 d’où a = 3,517 / 6 = 0,586
et b = 24,8 - (0,586 x 9,5) = 19,233
Ainsi la droite de tendance est : y = 0,586 x + 19,233
2.1.2 Utilité et remarques
Il est sur cette base possible de calculer des prévisions des ventes pour les trimestres suivants :
La tendance pour le 13ème trimestre : y13 = 0,586 x 13 + 19,233 = 26,851
Remarque : on constate que ce chiffre d’affaires est très éloigné de ceux enregistrés les années précédentes. Ceci s’explique par le fait que le calcul effectué est un calcul de tendance qui néglige la saisonnalité des ventes. Ainsi, sera-t-il nécessaire de procéder au calcul des coefficients saisonniers pour pouvoir déterminer une prévision fiable.
2.2 La méthode des moindres carrés
2.2.1 Principe
Il s’agit d’appliquer la méthode des moindres carrés pour déterminer les coefficients de la droite y = a . x + b.
Cette méthode sera plus fiable que la méthode de Mayer pour évaluer la tendance.
2.2.2 Exemple
Trimestre xi Chiffre d’affaires yi xi² yi² xi . yi
1 16,4 1 268,96 16,4
2 23 4 529 46
3 34 9 1 156 102
4 12,4 16 153,76 49,6
5 17,4 25 302,76 87
6 24,5 36 600,25 147
7 36 49 1 296 252
8 14 64 196 112
9 19 81 361 171
10 25,8 100 665,64 258
11 39 121 1 521 429
12 15 144 225 180
78 276,5 7 275,37 650 1 850
n = 12 (nombre de trimestres).
Moyenne des x : xb = å xi / n = 78 / 12 = 6,5
Chiffre d’affaires moyen : yb = å yi / n = 276,5 / 12 = 23,0417
Les coefficient de la droite de régression (a et b) sont alors :
a = (å xi yi / n) - xb yb / (å xi² / n) - xb² = (1 850 / 12) - (6,5 x 23,0417) / (650 / 12) - 6,5² = 0,369
b = y - a . x = 23,0417 - 0,369 x 6,5 = 20,644
L’équation de la droite de régression est donc : y = 0,369 x + 20,644
Ceci permet d’effectuer les prévisions de ventes pour l’année N.
y13 = 0,369 x 13 + 20,644 = 25,441
y14 = 0,369 x 14 + 20,644 = 25,81
y15 = 0,369 x 15 + 20,644 = 26,179
y16 = 0,369 x 16 + 20,644 = 26,548
103,978 millions de francs
2.3 La méthode des totaux mobiles (TM)
La méthode des totaux consiste à annuler la composante saisonnière des données pour procéder à l’étude de la tendance.
2.3.1 Calcul des totaux mobiles
Le principe des totaux mobiles consiste à effectuer un calcul de chiffre d’affaires cumulé pour tout groupe de n données consécutives, c’est à dire si l’on suppose que n=4 (4 trimestres) : les totaux mobiles seront constitués par les chiffres d’affaires totaux calculés à partir des données suivantes :
On appellera total mobile, le total constitué par les ventes de n (ici 4 périodes) et moyennes mobiles la somme obtenue en divisant le total mobile par n.
ainsi :
Total mobile du trimestre i (année N) = Total mobile du trimestre i-1 (année N) + CA du trimestre i (année N) - CA du trimestre i (année N-1)
Sur cette base, il est possible de procéder au calcul du trend en appliquant aux totaux mobiles les méthodes d’ajustement vues aux A et B (méthode de Mayer ou des moindres carrés).
Exemple : Dans un premier temps, il est nécessaire de calculer les totaux mobiles. Puis, il est possible d’appliquer sur la série chronologique (xi TMi) les méthodes d’ajustement.
La série (xi, TMi) n’est définie que sur 9 observations.
x = 72 / 9 = 8
TM = 828 / 9 = 92
a = (6 725,2 / 9) - (8 x 92) / (636 / 9) - 8²
b = 92 - (1,687 x 8) = 78,507
La droite de régression est donc : TM = 1,687 x + 78,507
2.3.2 Remarques et utilisation
La méthode des totaux mobiles a le mérite de « lisser » les données c’est à dire d’éliminer l’impact de la saisonnalité sur les variables. Les résultats obtenus avec cette méthode (en termes de totaux mobiles ou de moyennes mobiles) sont qualifiés de « corrigés des variations saisonnières » (CVS).
Cette méthode est la plus utilisée pour procéder à la correction des variations saisonnières que ce soit par les entreprises ou les instituts économiques (données CVS du chômage...).
Prévision : il est possible d’utiliser la droite de régression pour effectuer des prévisions.
Pour l’année N : total mobile = 12 + 4 =16 1,687 x 16 + 78,507 = 105,499 millions de francs.
2.4 Conclusion sur le trend et les prévisions
On remarque la dispersion assez importante des prévisions effectuées pour l’année N.
Méthode Mayer : 110,920
Méthode des moindres carrés : 103,978
Méthode des totaux mobiles 105,499
Or, un écart de prévision de plusieurs millions de francs de chiffre d’affaires peut être très préjudiciable à l’entreprise.
La méthode la plus fiable consiste à pratiquer un ajustement linéaire (par les moindres carrés) : sur les totaux mobiles dans le cas de données trimestrielles, ou sur des données annuelles ce qui permet de neutraliser les variations saisonnières.
L’entreprise doit cependant procéder à une analyse de son environnement pour rendre crédible les prévisions : il lui faut en effet prendre en compte les fluctuations, mais aussi les actions des concurrents et de l’entreprise.
nedens a dit:gumm tu as à compris l'explication que je vous ai fournis ou pas? sinon je pourrais essayé de vous l'expliquer d'une autre manière
j'ai vu ca mais y'a longtemps (c'était en terminal)...donc pour moi c'est un rafraichissement de cerveau...faudrait demander à Kayz :wink:
C'est bon, j'ai compris pour les totaux mobiles. C'est juste ce dont j'avais besoins.
Mais pour les tendances et tout le reste j'verrai ça, j'avais déjà vu ça quelque part avec les nuages de points et tout, la droite qui passe...).
Merci à toutes les deux ! C'était sympa de m'avoir aidé.
@+
Mais pour les tendances et tout le reste j'verrai ça, j'avais déjà vu ça quelque part avec les nuages de points et tout, la droite qui passe...).
Merci à toutes les deux ! C'était sympa de m'avoir aidé.
@+